angewandte Numerik - Lösung einfacher Differentialgleichungen

[Erica Simmons]

Bevor wir zu Differentialgleichungen kommen, befassen wir uns zunächst mit numerischen Ableitungen im Allgemeinen. Ausgangspunkt ist dabei die Definition der Ableitung einer Funktion an der Stelle X als Grenzwert

In der Numerik übersetzt sich diese Definition in die diskretisierte Näherungsformel

wobei der Abstand zwischen dem n-ten und dem (n+1)-ten Stützpunkt nach wie vor klein
sein sollte aber eben nicht mehr infinitesimal ist. Dies führt zu einem kleinen Problem. Da die Schrittweite in x-Richtung nun eben nicht mehr unendlich klein ist, liefert die soeben genannte Näherung strenggenommen nicht die Ableitung am n-ten Stützpunkt der Funktion sondern an einem Punkt der mittig zwischen dem n-ten und (n+1)-ten liegt. Wir können das durch eine einfache Verschiebung um eine halbe Schrittweite in x-Richtung kompensieren und erhalten dann

Obwohl dieser Ausdruck wesentlich genauer ist als die rechtsseitige Näherung der Ableitung die wir zuerst aufgestellt haben, lässt er sich nicht ohne Weiteres implementieren da die Funktion f in der Numerik in der Regel durch ihre Funktionswerte an diskreten Punkten gegeben ist wobei

gilt, und die Zwischenwerte nicht bekannt sind. Um unsere Näherungsformel daran anzupassen müssen wir sie wie noch einmal abändern

Dieser Ausdruck entspricht der sogenannten Midpoint Methode und obwohl die Schrittweite in der Berechnung der Ableitung nun doppelt so groß ist wie die ursprünglich zur Diskretisierung der Funktion f verwendete, liefert sie im Allgemeinen bessere Ergebnisse als die rechtsseitige Ableitung die wir zuerst aufgestellt hatten.

Um den Unterschied zwischen beiden Methoden noch genauer zu verdeutlichen sind im folgenden Diagramm die relativen Genauigkeiten der rechtsseitigen numerischen Ableitung und der Ableitung nach Midpoint Methode in Abhängigkeit von der Schrittweite dx aufgetragen.

Wie sie sehen kann die Midpoint Methode um einige Größenordnungen genauer sein. Allerdings sehen sie hier auch noch etwas anderes nämlich dass sie die Schrittweite nicht beliebig klein wählen können ohne dass sie die Genauigkeit ihrer Ergebnisse wieder verschlechtert. Der Grund dafür liegt darin dass ein Rechner nicht beliebig viele Nachkommastellen darstellen kann. Wählen sie zu kleine Schrittweite so kommt es bei der Berechnung der Differenz zu Auslöschungsfehlern die im schlimmsten Fall zu einem völlig unbrauchbaren Ergebnis führen. Die Lage des Optimums lässt sich über

abschätzen wobei A hier die Maschinengenauigkeit des für ihre Berechnungen verwendeten Systems bezeichnet.

Ein weiterer Punkt den sie beachten sollten ist der, dass mit der Midpoint Methode für eine an N Punkten bestimmte Funktions f die Ableitung nur an den N-2 inneren Stützpunkten bestimmt werden kann. Um eine Abschätzung für die Ableitung auf den Randpunkten zu erhalten sollten sie andere Mittel anwenden wie zum Beispiel eine Extrapolation nach Rechts und nach Links ausgehend von den zuvor bestimmten inneren Punkten.