Einführung in die Vektoranalysis

[Erica Simmons]

Zum Abschluss möchte ich mit ihnen noch in Kürze über drei Identitäten sprechen die in der Vektoranalysis von größerer Bedeutung sind.

Diese Identitäten sind:

Die ersten beiden sind allgemein bei der Behandlung von Feldern von Interesse. Um ihre Bedeutung zu erfassen, betrachten wir Rotation und Divergenz, also Wirbel und Quellen, eines allgemeinen Vektorfeldes, ausgedrückt durch seine Fundamentalzerlegung unter Beachtung dieser Identitäten.

Wir sehen also dass die Rotation eines beliebigen Vektorfeldes insgesamt verschwindet wenn sein Wirbelanteil verschwindet während der Quellanteil beliebig sein darf. Die Divergenz eines allgemeinen Vektorfeldes verschwindet dagegen gerade dann insgesamt wenn bei beliebigem Wirbelanteil der Quellanteil Null ist.

Die ersten beiden Identitäten sind somit Ausdruck zweier wichtiger Eigenschaften von Feldern.

1) Reine Gradientenfelder sind wirbelfrei.
oder auch
Jedes wirbelfreie Feld lässt sich als Gradient eines skalaren Potentials ausdrücken.

2) Reine Wirbelfelder sind quellenfrei, das heisst an jedem Punkt sind die einlaufenden Feldanteile gleich den auslaufenden.

Die dritte Identität hat keine ganz so anschauliche Interpretation, spielt jedoch in Wellengleichungen eine entscheidende Rolle. Da wir uns damit in diesem Kurs aber nicht beschäftigen werden, genügt es vorerst sie einfach nur zur Kenntnis zu nehmen.

Ich merke dass wir die Zeit heute ein wenig überzogen haben doch dafür sind wir mit allem durch was ich ihnen in dem Zusammenhang vermitteln wollte und ich hoffe sie haben das Wesentliche in diesem Kurs verstanden.