Der Körper der komplexen Zahlen

[Erica Simmons]

Zum Abschluss werden wir an einigen einfachen Beispielen sehen wie grundlegende Rechenoperationen im Raum der komplexen Zahlen ausgeführt werden.

Addition und Subtraktion sind denkbar einfach, hier werden in der kartesischen Darstellung einfach jeweils die Real- und die Imaginärteile addiert oder subtrahiert:

Zwei komplexe Zahlen miteinander zu multiplizieren ist in der kartesischen Darstellung nur insofern etwas komplizierter dass sie sich merken müssen dass i zum Quadrat gerade wieder -1 ist:

Division ist in der kartesischen Darstellung etwas umständlich aber machbar indem sie einfach mit dem komplex-konjugierten des Nenners erweitern:

Wie sie sehen bietet sich die kartesische Darstellung komplexer Zahlen vor allem für Addition und Subtraktion an. Multiplikation, Division, Potenzieren und Wurzelziehen lassen sich in der Polardarstellung im Allgemeinen einfacher handhaben. Hier gilt:

Da beide Darstellungen äquivalent sind und sich, wie wir gesehen haben, leicht ineinander umwandeln lassen, können sie ganz nach Belieben immer die Form auswählen die ihnen die Lösung einer bestimmten Aufgabe am einfachsten macht.

Das wäre auch schon alles für Heute. Wenn sie sich unsicher sind was die Anwendung dessen was wir hier besprochen haben anbelangt, nehmen sie sich ruhig die Zeit den Umgang mit komplexen Zahlen etwas zu üben.