angewandte Numerik - Lösung einfacher Differentialgleichungen

[Erica Simmons]

Wenn sie die Vorlesung bis hierhin aufmerksam verfolgt haben sollte ihnen aufgefallen sein, dass wir bei der Herleitung des expliziten Solvers im Grunde nichts Anderes getan haben als die rechtsseitige Näherung für numerische Ableitungen anzuwenden. Wie wir zu Beginn festgestellt haben ist diese jedoch insofern ungenau dass sie eigentlich die Ableitung zwischen zwei aufeinanderfolgenden Stützpunkten bestimmt. Genaugenommen müssten wir die diskretisierte Version der Differentialgleichung also wie folgt angeben

Das Problem dass es keinen (n+1/2)-ten Stützpunkt gibt umgehen wir nun dadurch, dass wir linear zwischen dem n-ten und dem (n+1)-ten interpolieren.

Hierbei gehen wir auf der rechten Seite der Gleichung nun implizit davon aus bereits Informationen über den (n+1)-ten Stützpunkt zu besitzen weshalb wir in diesem Fall von einem impliziten Verfahren sprechen.

Stellen wir die Gleichnung um so erhalten wir

Diese Methode ist numerisch stabiler und genauer als das explizite Verfahren. Gehen wir aber zu Vektorgleichungen über so wird aus der Division die Bildung einer inversen Matrix deren Existenz allerdings nicht garantiert ist.