Einführung in die Vektoranalysis

[Erica Simmons]

Bevor wir wirklich beginnen möchte ich noch einmal kurz die Begriffe der partiellen
und der totalen Ableitung auseinander nehmen. Ganz vereinfacht gesagt, die partielle
Ableitung berücksichtigt, im Gegensatz zur totalen, keine impliziten Abhängigkeiten.

Sei f(x,y,z) eine Funktion, dann ist ihr totales Differential gegeben als:

wobei zum Beispiel:

die partielle Ableitung von f nach x bezeichnet. Betrachten wir nun die totale Ableitung df/dx, so erhalten wir:

Da dx/dx = 1, sehen wir sofort dass für dy/dx=dz/dx=0, also in dem Fall dass y und z nicht von x abhängen, die totale und die partielle Ableitung nach x gerade übereinstimmen.

Von zentraler Bedeutung in der Vektoranalysis ist der so genannte Nabla-Operator der durch ein auf die Spitze gestelltes Dreieck dargestellt wird. Dieser Operator ist selbst ein Vektor dessen Komponenten gerade die partiellen Ableitungen nach den einzelnen Koordinaten sind. Obwohl der Nabla-Operator und seine Anwendungen grundsätzlich Koordinatenunabhängig definiert sind, werden wir uns in diesem Kurs der Einfachheit halber auf die Darstellung in kartesischen Koordinaten in drei Dimensionen beschränken.

Nennen wir die Koordinaten x, y und z, so hat der Nabla-Operator die Form:

Im Folgenden nennen wir S(x,y,z) ein Skalarfeld und V(x,y,z) ein Vektorfeld. Der Nabla Operator kann nun genau wie jeder andere Vektor auf verschiedene Art angewendet werden.

Die Multiplikation mit einer skalaren Größe liefert den Gradienten dieser Größe, bei dem es sich gerade um den Vektor handelt der in Richtung des stärksten Anstiegs eines Skalarfeldes zeigt.

Das Skalarprodukt des Nabla-Operators mit einer vektoriellen Größe liefert die Divergenz, eine skalare Größe die etwas über die Tendenz eines Vektorfeldes zu einem bestimmten Punkt hin oder von einem bestimmten Punkt weg zu fließen. Mit anderen Worten, die Divergenz sagt etwas über Quellen und Senken eines Vektorfeldes aus.

Schließlich gibt es im dreidimensionalen Fall noch die Möglichkeit das Kreuzprodukt aus dem Nabla-Operator und einer vektoriellen Größe zu bilden. Ich möchte an dieser Stelle einen kurzen Einschub zur Berechnung des Kreuzprodukts machen.

Sie alle haben in der Schule sicher ein Schema für die Berechnung eines Kreuzprodukts zweier Vektoren auswendig lernen müssen, es gibt allerdings einen alternativen Weg der über die Berechnung der Determinante einer 3x3-Matrix führt. Zumindest ich habe diese Methode immer für einfacher in der Handhabung gehalten. Sie wissen dass man einen jeden Vektor in eine Summe über Basisvektoren zerlegen kann, nehmen wir i, j und k als Namen für die Einheitsvektoren in x-, y- und z-Richtung, dann gilt:

Wollen sie nun das Kreuzprodukt zweier Vektoren berechnen so schreiben sie eine 3x3- Matrix mit Symbolen für die Einheitsvektoren in x-, y- und z-Richtung in der ersten Zeile, den Komponenten des ersten Vektors in der zweiten Zeile und den Komponenten des zweiten Vektors in der dritten und berechnen sie deren Determinante ohne sich an dem Punkt zu stören dass die erste Zeile nun faktisch Vektoren als Einträge besitzt.

Das einzige was sie sich dabei merken müssen ist dass sie bei der Berechnung einer Determinanten das Vorzeichen in Form eines Schachbrettmusters alternieren müssen, wobei dem ersten Element der ersten Zeile ein + zugeordnet wird. Die Determinante einer 3x3-Matrix erhalten sie als Summe aus drei Determinanten von 2x2 Matrizen indem sie das erste Element der ersten Zeile mit der Determinante der 2x2-Matrix multiplizieren die übrig bleibt wenn sie die erste Zeile und erste Spalte ihrer 3x3-Matrix weglassen, das negative des zweiten Elements der ersten Zeile mit der Determinante der Matrix die sie erhalten wenn sie die erste Zeile und zweite Spalte streichen und das dritte Element der ersten Zeile mit der Determinante der Matrix die sie erhalten wenn sie die erste Zeile und dritte Spalte weglassen. Die Determinanten der 2x2-Untermatrizen erhalten sie grundsätzlich indem sie nach dem gleichen Schema weiter verfahren. Dabei wird aber fast sofort klar dass hier einfach nur die Differenz aus dem Produkt der Diagonalelemente und dem Produkt der Nicht-Diagonalelemente zu bilden ist. Als Gleichung ausgedrückt stellt sich das Verfahren wesentlich einfacher dar als in der Beschreibung:

Wie gesagt ist dieses Schema ohne Weiteres anwendbar wenn man die Berechnung von Determinanten einmal verstanden hat, der Einzige Punkt bei dem man aufpassen muss ist die Beachtung des Vorzeichens beim Durchlaufen der Matrixelemente. Nun zurück zum eigentlichen Thema.

Das Kreuzprodukt des Nabla-Operators mit einem Vektorfeld heißt Rotation und sagt etwas über die Wirbel innerhalb eines Vektorfeldes, also die Tendenz des Vektorfeldes um einen bestimmten Punkt zu rotieren, aus.

Der Rotationsvektor zeigt dabei stets in Richtung der Rotationsachse, üblicherweise gilt dabei die sogenannte Rechte-Hand-Regel, das heißt wenn sie den Daumen ihrer rechten Hand nach oben richten und die Finger halb zur Faust ballen, dann entspricht ihr Daumen der Rotationsachse und die Krümmung ihrer Finger der zugehörigen Drehrichtung, der mathematisch positive Drehsinn ist, wie sie sehen, per Definition gegen den Uhrzeigersinn gerichtet.

Ein letzter wichtiger Operator entspricht dem Skalarprodukt des Nabla Operators mit sich selbst.

Dieser Operator wird nun natürlich wieder als Skalar behandelt und kann daher entweder auf ein Skalarfeld oder auch komponentenweise auf ein Vektorfeld angewendet werden. Im Falle von Skalarfeldern entspricht dieser Operator der Divergenz des Gradientenfeldes, liefert also die Quellen und Senken des aus dem Skalarfeld durch Ableitung erzeugten Vektorfeldes. Im Falle der Anwendung auf ein Vektorfeld gibt es leider keine ganz so anschauliche Interpretation, wir werden aber auch auf diesen Fall später noch zu sprechen kommen.