Der Körper der komplexen Zahlen

[Erica Simmons]

Nachdem sie nun mit der kartesischen Darstellung komplexer Zahlen ausreichend vertraut sind, sprechen wir über eine alternative Möglichkeit diese auszudrücken.

Gehen sie zunächst von der kartesischen Darstellung aus und denken sie sich eine direkte Verbindung zwischen dem Koordinatenursprung und dem Punkt der unsere komplexe Zahl z repräsentiert. Die Länge dieser Verbindungslinie ist nun aber nichts anderes als der Betrag von z

und ihr Real- und Imaginärteil können damit über den Winkel ausgedrückt werden den die Verbindungslinie vom Koordinatenursprung zu z mit der reellen Achse einschließt.

Damit haben wir die komplexe Zahl z nun also mit:

durch ihren Abstand zum Koordinatenursprung und den Winkel mit der reellen Achsen unseres Koordinatensystems ausgedrückt. Jetzt können wir noch den Zusammenhang:

heranziehen. Dieser lässt sich durch Betrachtung der Reihenentwicklungen der Exponentialfunktion und der Sinus- und Kosinusfunktion leicht zeigen, wir werden an dieser Stelle aber darauf verzichten. Damit lässt sich unsere komplexe Zahl nun also in der Form:

schreiben.

Wir bezeichnen dies als die Polardarstellung von z welche zur kartesischen natürlich äquivalent, aber wie wir später noch sehen werden für einige Anwendungen vorteilhafter ist. Das Umrechnen zwischen beiden Darstellungsarten sollte ihnen mit dem was wir soeben besprochen haben nicht weiter schwer fallen. Auch hier bedeutet das Bilden des komplex konjugierten im Wesentlichen nur einen Vorzeichenwechsel vor i auch wenn es sich dabei genaugenommen natürlich eher um einen Vorzeichenwechsel des Winkels handelt.

Aus dem Übergang von der kartesischen zur Polardarstellung lassen sich ganz nebenbei noch die folgenden Darstellungen für Sinus und Kosinus herleiten die sie ebenfalls im Gedächtnis behalten sollten.

Mit diesen Darstellungen ist es ihnen unter anderem möglich die trigonometrischen Additionstheoreme, die sie in der Schule vermutlich einfach nur auswendig gelernt haben, direkt nachzurechnen.