Der Körper der komplexen Zahlen

[Erica Simmons]

Sie alle haben in der Schule sicher irgendwann einmal gelernt dass die Wurzel aus negativen Zahlen nicht definiert ist. Nun, das war im Grunde nur halbe Wahrheit, korrekt müsste man sagen, die Wurzel einer negativen Zahl ist auf dem Raum der reellen Zahlen nicht definiert. Da es für verschiedene Anwendungen äußerst praktisch ist mit Wurzeln aus negativen Zahlen zu rechnen, zum Beispiel schon beim Lösen der Differentialgleichung eines einfachen Federschwingers, wäre es natürlich sehr unbefriedigend es einfach dabei zu belassen.

Sie wissen dass die Wurzeln aus positiven Zahlen sich im Raum der reellen Zahlen ohne Probleme finden lassen. Sie wissen auch dass für Wurzeln von Produkten die einfache Rechenregel:

gilt.
Da sich nun aber jede negative Zahl immer als Produkt aus einer positiven Zahl und -1 schreiben lässt, kann das ziehen der Wurzel aus einer negativen Zahl -a in der Form:

vereinfacht werden. Sie sehen also dass alles was ihnen fehlt um die Wurzel einer beliebigen negativen Zahl zu bestimmen die Wurzel aus -1 ist. Wir lösen dieses Problem einfach indem wir als Lösung die imaginäre Einheit i definieren:

Damit ergibt sich also für die Wurzel einer negativen Zahl:

Wir nennen solche Zahlen imaginäre Zahlen. Der Raum der imaginären Zahlen ist allerdings im Gegensatz zu dem der reellen Zahlen zum Beispiel nicht unter Multiplikation abgeschlossen, das Produkt zweier imaginärer Zahlen würde wieder im Raum der reellen Zahlen liegen. Suchen wir nun einen Zahlenraum mit besseren Eigenschaften, so führt uns dies zu den komplexen Zahlen.

Komplexe Zahlen sind nichts anderes als Zahlen die sowohl einen Realteil, als auch einen Imaginärteil besitzen. Um sich den Aufbau dieses Zahlenraumes zu veranschaulichen stellen sie sich bitte ein einfaches zweidimensionales kartesisches Koordinatensystem vor. Auf
der x-Achse wird nun einfach der Realteil einer komplexen Zahl aufgetragen während die y-Achse in Einheiten von i unterteilt ist und auf ihr der Imaginärteil abgetragen wird. Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl sind nun also nichts anderes als die x- und y-Koordinaten in diesem Diagramm. Die kartesische Darstellung einer komplexen Zahl wird einfach ausgedrückt als Realteil + iImaginärteil. Betrachten wir eine komplexe Zahl z in der Form z = a+ib, dann ist a der Realteil und b der Imaginärteil von z. In formaler Schreibweise Re(z) = a und Im(z) = b.

Im Koordinatensystem veranschaulicht wäre z einfach ein Punkt mit den Koordinaten (a; b).

Insgesamt lässt sich der Körper der komplexen Zahlen also ausdrücken als:

Spiegeln sie den Punkt im Diagramm der eine bestimmte komplexe Zahl z = a + ib repräsentiert an der x-Achse, so erhalten die deren komplex-konjugierte z^* = a - ib, multiplizieren sie eine Zahl mit ihrer komplex-konjugierten, so erhalten sie deren Betragsquadrat: