Grundlagen der Aussagenlogik und Mengenlehre

[Erica Simmons]

Wenn wir nun zum Abschluss über Mengenlehre sprechen wollen, so können wir uns als einfache Anschauung, die uns für den Moment ausreichen soll, unter dem Begriff einer Menge die Zusammenfassung unterscheidbarer Objekte anhand gemeinsamer Eigenschaften zu einem Ganzen vorstellen.

Die formelle Beschreibung einer Menge wird gewöhnlich in geschweifte Klammern gestellt und kann für Mengen mit einer abzählbaren endlichen und überschaubaren Anzahl von Elementen aus einer simplen Aufzählung bestehen, für Mengen mit abzählbar unendlich vielen Elementen bietet sich je nach Lage eine angedeutete Aufzählung oder falls möglich die Bildungsvorschrift der Elemente an.

Sei zum Beispiel M die Menge aller ungeraden Zahlen zwischen 0 und 10 dann kann diese Menge durch:

beschrieben werden. Für die Mengen der natürlichen, der ganzen und der rationalen Zahlen lässt sich jeweils folgende Beschreibung geben:

Die Aussage "x ist Element der Menge M" wird durch das Elementsymbol dargestellt das ihnen eigentlich aus der Schule bekannt sein sollte. Die Negation dieser Aussage wird oft in Kurzform mit Hilfe eines durchgestrichenen Elementsymbols ausgedrückt.

Teilmengen werden durch ein auf die Seite gekipptes U gekennzeichnet. Wir bezeichnen eine Menge X als Teilmenge von M wenn jedes Element aus X gleichzeitig auch immer ein Element von M ist.

Falls X Teilmenge von M und gleichzeitig M Teilmenge von X wäre, so würde daraus X = M folgen, ist Y Teilmenge von X und X Teilmenge von M so ist automatisch auch Y Teilmenge von M.

Die wichtigsten Operationen mit denen zwei Mengen A und B verknüpft werden können sind:

Betrachten wir zur besseren Anschauung noch diese Graphik:

Die Vereinigungsmenge von A und B umfasst hier alle farbigen Bereiche, die Schnittmenge den dunkleren Überschneidungsbereich in der Mitte, die Differenzmenge aus A und B ausschließlich den in schwachem Hellgrün eingefärbten Bereich. Ich hoffe damit haben sie eine halbwegs gute Vorstellung was gemeint ist.

Zum Abschluss betrachten wir noch kurz drei Zusammenhänge die bei mengentheoretischen Betrachtungen häufiger zur Anwendung kommen:

Die Ähnlichkeit zu den Äquivalenzen die ich ihnen in der Aussagenlogik bereits vorgestellt habe wird ihnen sicher schon aufgefallen sein und tatsächlich sind diese der Schlüssel zum Beweis dieser Mengengleichungen. Wir werden das einmal am Beispiel der zweiten Gleichung durchgehen wobei wir auf die Äquivalenz der Aussagenlogik zurückgreifen werden die wir im letzten Abschnitt bereits bewiesen haben.

Sie sehen also dass die Aussagenlogik ihnen hier für die Betrachtung mengentheoretischer Überlegungen ein wichtiges Werkzeug in die Hand gibt.

Das wäre für heute alles, es wird ihnen aber sicher nicht schaden zur Übung analog zu dem was wir hier gerade behandelt haben auch die Gültigkeit der ersten und dritten Gleichung einmal selbst zu zeigen.