Der Körper der komplexen Zahlen

[Erica Simmons]

Vorlesung am Institut für Mathematik und theoretische Physik (Fakultät I)

[Erica Simmons]

Willkommen im Grundkurs Mathematik zum Körper der komplexen Zahlen. Auch wenn einige von ihnen sicher schon in der Schule mit komplexen Zahlen zu tun hatten, werden wir hier mit diesem Thema noch einmal ganz von Vorn anfangen um sicherzustellen dass sie für ihr Studium im naturwissenschaftlichen Bereich die nötigen Grundlagen haben. Was ich allerdings voraussetze ist natürlich dass sie mit den reellen Zahlen ausreichend vertraut sind.

Sie werden in diesem Kurs zunächst die imaginäre Einheit kennen lernen mit der wir den Raum der reellen Zahlen auf den den Raum der komplexen Zahlen erweitern. Anschließend werden wir auf die beiden wichtigsten Darstellungsarten komplexer Zahlen zu sprechen kommen, wobei sie auch die komplexe Darstellung trigonometrischer Funktionen kennen lernen werden. Zum Abschluss werde ich ihnen dann noch kurz erläutern wie man einige grundlegende Rechenoperationen mit komplexen Zahlen ausführt. Diejenigen von ihnen die all das was ich hier erklären werde bereits kennen bitte ich trotzdem aufmerksam zuzuhören. Die Wiederholung wird ihnen sicher nicht schaden.

[Erica Simmons]

Sie alle haben in der Schule sicher irgendwann einmal gelernt dass die Wurzel aus negativen Zahlen nicht definiert ist. Nun, das war im Grunde nur halbe Wahrheit, korrekt müsste man sagen, die Wurzel einer negativen Zahl ist auf dem Raum der reellen Zahlen nicht definiert. Da es für verschiedene Anwendungen äußerst praktisch ist mit Wurzeln aus negativen Zahlen zu rechnen, zum Beispiel schon beim Lösen der Differentialgleichung eines einfachen Federschwingers, wäre es natürlich sehr unbefriedigend es einfach dabei zu belassen.

Sie wissen dass die Wurzeln aus positiven Zahlen sich im Raum der reellen Zahlen ohne Probleme finden lassen. Sie wissen auch dass für Wurzeln von Produkten die einfache Rechenregel:

gilt.
Da sich nun aber jede negative Zahl immer als Produkt aus einer positiven Zahl und -1 schreiben lässt, kann das ziehen der Wurzel aus einer negativen Zahl -a in der Form:

vereinfacht werden. Sie sehen also dass alles was ihnen fehlt um die Wurzel einer beliebigen negativen Zahl zu bestimmen die Wurzel aus -1 ist. Wir lösen dieses Problem einfach indem wir als Lösung die imaginäre Einheit i definieren:

Damit ergibt sich also für die Wurzel einer negativen Zahl:

Wir nennen solche Zahlen imaginäre Zahlen. Der Raum der imaginären Zahlen ist allerdings im Gegensatz zu dem der reellen Zahlen zum Beispiel nicht unter Multiplikation abgeschlossen, das Produkt zweier imaginärer Zahlen würde wieder im Raum der reellen Zahlen liegen. Suchen wir nun einen Zahlenraum mit besseren Eigenschaften, so führt uns dies zu den komplexen Zahlen.

Komplexe Zahlen sind nichts anderes als Zahlen die sowohl einen Realteil, als auch einen Imaginärteil besitzen. Um sich den Aufbau dieses Zahlenraumes zu veranschaulichen stellen sie sich bitte ein einfaches zweidimensionales kartesisches Koordinatensystem vor. Auf
der x-Achse wird nun einfach der Realteil einer komplexen Zahl aufgetragen während die y-Achse in Einheiten von i unterteilt ist und auf ihr der Imaginärteil abgetragen wird. Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl sind nun also nichts anderes als die x- und y-Koordinaten in diesem Diagramm. Die kartesische Darstellung einer komplexen Zahl wird einfach ausgedrückt als Realteil + iImaginärteil. Betrachten wir eine komplexe Zahl z in der Form z = a+ib, dann ist a der Realteil und b der Imaginärteil von z. In formaler Schreibweise Re(z) = a und Im(z) = b.

Im Koordinatensystem veranschaulicht wäre z einfach ein Punkt mit den Koordinaten (a; b).

Insgesamt lässt sich der Körper der komplexen Zahlen also ausdrücken als:

Spiegeln sie den Punkt im Diagramm der eine bestimmte komplexe Zahl z = a + ib repräsentiert an der x-Achse, so erhalten die deren komplex-konjugierte z^* = a - ib, multiplizieren sie eine Zahl mit ihrer komplex-konjugierten, so erhalten sie deren Betragsquadrat:

[Erica Simmons]

Nachdem sie nun mit der kartesischen Darstellung komplexer Zahlen ausreichend vertraut sind, sprechen wir über eine alternative Möglichkeit diese auszudrücken.

Gehen sie zunächst von der kartesischen Darstellung aus und denken sie sich eine direkte Verbindung zwischen dem Koordinatenursprung und dem Punkt der unsere komplexe Zahl z repräsentiert. Die Länge dieser Verbindungslinie ist nun aber nichts anderes als der Betrag von z

und ihr Real- und Imaginärteil können damit über den Winkel ausgedrückt werden den die Verbindungslinie vom Koordinatenursprung zu z mit der reellen Achse einschließt.

Damit haben wir die komplexe Zahl z nun also mit:

durch ihren Abstand zum Koordinatenursprung und den Winkel mit der reellen Achsen unseres Koordinatensystems ausgedrückt. Jetzt können wir noch den Zusammenhang:

heranziehen. Dieser lässt sich durch Betrachtung der Reihenentwicklungen der Exponentialfunktion und der Sinus- und Kosinusfunktion leicht zeigen, wir werden an dieser Stelle aber darauf verzichten. Damit lässt sich unsere komplexe Zahl nun also in der Form:

schreiben.

Wir bezeichnen dies als die Polardarstellung von z welche zur kartesischen natürlich äquivalent, aber wie wir später noch sehen werden für einige Anwendungen vorteilhafter ist. Das Umrechnen zwischen beiden Darstellungsarten sollte ihnen mit dem was wir soeben besprochen haben nicht weiter schwer fallen. Auch hier bedeutet das Bilden des komplex konjugierten im Wesentlichen nur einen Vorzeichenwechsel vor i auch wenn es sich dabei genaugenommen natürlich eher um einen Vorzeichenwechsel des Winkels handelt.

Aus dem Übergang von der kartesischen zur Polardarstellung lassen sich ganz nebenbei noch die folgenden Darstellungen für Sinus und Kosinus herleiten die sie ebenfalls im Gedächtnis behalten sollten.

Mit diesen Darstellungen ist es ihnen unter anderem möglich die trigonometrischen Additionstheoreme, die sie in der Schule vermutlich einfach nur auswendig gelernt haben, direkt nachzurechnen.

[Erica Simmons]

Zum Abschluss werden wir an einigen einfachen Beispielen sehen wie grundlegende Rechenoperationen im Raum der komplexen Zahlen ausgeführt werden.

Addition und Subtraktion sind denkbar einfach, hier werden in der kartesischen Darstellung einfach jeweils die Real- und die Imaginärteile addiert oder subtrahiert:

Zwei komplexe Zahlen miteinander zu multiplizieren ist in der kartesischen Darstellung nur insofern etwas komplizierter dass sie sich merken müssen dass i zum Quadrat gerade wieder -1 ist:

Division ist in der kartesischen Darstellung etwas umständlich aber machbar indem sie einfach mit dem komplex-konjugierten des Nenners erweitern:

Wie sie sehen bietet sich die kartesische Darstellung komplexer Zahlen vor allem für Addition und Subtraktion an. Multiplikation, Division, Potenzieren und Wurzelziehen lassen sich in der Polardarstellung im Allgemeinen einfacher handhaben. Hier gilt:

Da beide Darstellungen äquivalent sind und sich, wie wir gesehen haben, leicht ineinander umwandeln lassen, können sie ganz nach Belieben immer die Form auswählen die ihnen die Lösung einer bestimmten Aufgabe am einfachsten macht.

Das wäre auch schon alles für Heute. Wenn sie sich unsicher sind was die Anwendung dessen was wir hier besprochen haben anbelangt, nehmen sie sich ruhig die Zeit den Umgang mit komplexen Zahlen etwas zu üben.