angewandte Numerik - Lösung einfacher Differentialgleichungen

[Erica Simmons]

Nachdem sie nun mit dem Verfahren zur numerischen Bestimmung von Ableitungen vertraut sind, betrachten wir das Problem der Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen. Ich werde die dazu möglichen Verfahren anhand des einfachen Beispiels einer Zerfallsgleichung

erörtern doch ich vertraue darauf dass sie im Stande sind das Prinzip auch auf andere Probleme zu übertragen. Diskretisieren wir die, in diesem Fall noch unbekannte Funktion y(x) so ist es ein sehr naheliegender Gedanke zunächst die Ableitung durch ihre numerische Näherung zu ersetzen

und den so erhaltenen Ausdruck einfach umzustellen

Diese Formel erlaubt uns nun wenn wir den Funktionswert von y am n-ten Stützpunkt kennen den Funktionswert am (n+1)-ten Stützpunkt zu bestimmen. Solange wir also einen bekannten Anfangswert zur Verfügung haben, können wir damit die gesamte Funktion y(x) berechnen die eine Lösung der gegebenen Differentialgleichung ist.

Die Formel die wir soeben hergeleitet haben stellt ein sogenanntes explizites Lösungsverfahren dar, da sie immer nur von einem bereits bekanntem Punkt ohne weitere Annahmen auf den nächsten schließt. Der Vorteil expliziter Verfahren ist, dass sie sehr leicht zu implementieren sind, allerdings sind sie für viele Probleme numerisch instabil.