Einführung in die Vektoranalysis

[Erica Simmons]

Kommen wir nun auf die Integralsätze der Vektoranalysis zu sprechen. In der Physik sind besonders zwei von größerer Bedeutung. Der erste der beiden Sätze erlaubt den Übergang zwischen Oberflächen- und Volumenintegralen:

Beachten sie bitte dass ein Flächenvektor da stets in Richtung der Flächennormalen zeigt und damit senkrecht zur eigentlichen Oberfläche steht. Die infinitesimale Fläche zum Beispiel dxdy hat also einen Normalenvektor in z-Richtung. Das infinitesimale Volumen ist einfach das Volumen eines unendlich kleinen Quaders mit den Kantenlängen dx, dy und dz. Damit gilt insgesamt:

Die Aussage dieses Integralsatzes für die Physik ist recht einfach und kann im Grunde fast direkt abgelesen werden: Der Fluss eines Vektorfeldes durch eine geschlossene Oberfläche ist abhängig von den im von dieser Oberfläche eingeschlossenen Volumen vorhandenen Quellen oder Senken des Feldes.

Die Herleitung beziehungsweise der Beweis ist ziemlich einfach, schreiben sie:

Führen sie nun im ersten Summanden die Integration über x, im zweiten die Integration über y und im dritten die Integration über z aus und sie erhalten sofort:

womit wir auch schon am Ziel sind.

Der zweite Integralsatz verknüpft in ähnlicher Weise Integrale über geschlossene Wege mit Flächenintegralen:

Dieser Satz sagt ihnen im Prinzip dass das Feld entlang eines geschlossenen Weges stets von den in der umschlossenen Fläche liegenden Wirbeln des Feldes abhängt.

Die Herleitung dieses Satzes ist im Grunde auch nicht schwer, erfordert aber dass sie sich noch einmal bewusst machen was Integrale und Ableitungen im infinitesimalen Bereich eigentlich sind, sie sollten das in der Schule einmal ganz zu Anfang der jeweiligen Gebiete gelernt haben, zur Sicherheit wiederholen wir es aber hier noch einmal in Kürze.

In der einfachsten Anschauung im eindimensionalen Fall liefert das Integral einer Funktion gerade den Flächeninhalt unter der durch diese beschriebenen Kurve und ist der Grenzfall einer Summe über mehrere Streifen mit der dieser Flächeninhalt angenähert wird. Der Flächeninhalt eines einzelnen um den Wert x' zentrierten Streifens ist dabei gerade durch die Höhe des Streifens f(x') multipliziert mit seiner Breite dx gegeben. Die Summe über alle zur Näherung des Flächeninhaltes unter der Kurve innerhalb der Integralgrenzen benutzten Streifen geht gerade für den Grenzfall dass dx gegen 0 geht in das Integral über.

Die Ableitung einer Funktion f an der Stelle x' beschreibt dagegen gerade den Anstieg der Funktion an dieser Stelle. Unter der Voraussetzung dass sich die Funktion f um jeden Punkt x des Bereichs in dem die Ableitung gebildet werden soll lokal linear, also auf einem hinreichend kleinen Bereich ohne große Abweichung mit einer Geraden, approximieren lässt, ist die Ableitung einfach definiert als:

Zur besseren Anschauung finden sie das was ich soeben erklärt habe im Folgenden noch einmal in illustrierter Form.

Um nun auf den Integralsatz den wir herleiten möchten zurückzukommen, nehmen wir das geschlossene Wegintegral über den Rand eines infinitesimalen, um den Punkt (x',y') zentrierten, Rechtecks in der xy-Ebene, welches im mathematisch positiven Drehsinn durchlaufen wird.

Sie berechnen das geschlossene Wegintegral als Summe der Integrale über die einzelnen Teilstrecken unter Beachtung der Laufrichtung. Mit der Näherung für Integrale im infinitesimalen Bereich die wir vorhin besprochen haben, sollte eigentlich sofort einsichtig sein dass hier:

gilt.

Alles was hier im zweiten Schritt passiert ist, ist dass wir so erweitert haben dass wir das Produkt dxdy nun ausklammern können. Wie sie hoffentlich sofort sehen entsprechen, dadurch dass wir uns im infinitesimalen Bereich befinden und sowohl dx als auch dy damit per Definition gegen Null gehen, die Brüche hier, bis auf eine im Prinzip unerhebliche Verschiebung um dx/2 beziehungsweise dy/2, gerade den partiellen Ableitungen nach x beziehungsweise y.

Damit gilt für unser geschlossenes Wegintegral in der xy-Ebene aber gerade:

Das ist nun aber gerade nichts anderes als das Produkt aus der z-Komponente der Rotation eines Vektorfeldes und der z-Komponente des infinitesimalen Flächenvektors.

Wir können nun den infinitesimalen Bereich verlassen indem wir einen beliebigen Weg innerhalb der xy-Ebene aus vielen solcher kleinen Rechtecke zusammensetzen wobei sich die Beiträge der Integrale über aneinander stoßende Kanten benachbarter Rechtecke aufgrund entgegengesetzter Laufrichtungen gerade aufheben und tatsächlich nur noch das Wegintegral über dem Rand übrig bleibt. Dadurch dass die Ausdehnung unserer
Rechtecke gegen Null geht erhalten wir dabei wieder den Übergang von der Summe zum Integral und somit:

In ähnlicher Weise können, unter Beachtung der korrekten Achsenrichtungen im Koordinatensystem, auch die übrigen Komponenten hergeleitet werden womit unser Integralsatz dann vollständig wäre.

Nachdem wir nun die wichtigsten Integralsätze besprochen haben möchte ich ihnen noch kurz ein weiteres bedeutendes Werkzeug der Vektoranalysis vorstellen, die Fundamentalzerlegung. Hinter diesem Begriff verbirgt sich nichts anderes als der Grundsatz dass sich jedes Vektorfeld als Summe aus einem Quellanteil und einem Wirbelanteil darstellen lässt oder anders gesagt als Summe aus einem Gradientenfeld und einem Wirbelfeld: