Festkörperphysik - Kristallgitter und Defekte

[Erica Simmons]

In den verschiedenen Gitterstrukturen sind die Atome unterschiedlich dicht angeordnet. Die einheitenfreie Grösse mit der sich dies ausdrücken lässt ist die sogenannte Packungsdichte die im Grunde so etwas wie der maximale Anteil von Atomen belegten Raumvolumens ist wenn man sich die Atome modellhaft als feste Kugeln vorstellt und in einer bestimmten Struktur anordnet. Die Formel zur Berechnung der Packungsdichte ist recht einfach, es wird einfach das Gesamtvolumen das von allen in einer Einheitszelle liegenden Atomen beansprucht wird durch das Gesamtvolumen der Einheitszelle geteilt.

Für kubische Gitter ist das Volumen der Einheitszelle besonders leicht zu berechnen und es gilt:

hierbei ist nun n die Anzahl der Atome innerhalb der Einheitszelle, a die Kantenlänge der kubischen Einheitszelle und r der Radius der jeder ein Atom repräsentierenden Kugel zugeordnet wird. Beachten sie bei der Bestimmung von n aber unbedingt, dass Atome durchaus nur anteilig in einer Einheitszelle liegen können. Ein Atom das in einer Ecke liegt befindet sich nur zu einem Achtel innerhalb einer jeden an diese Ecke grenzenden Einheitszelle, ein Atom auf einer Fläche nur zur Hälfte. Das sc-Gitter besitzt zum Beispiel insgesamt nur 1 Atom pro Enheitszelle, genauer ein Achtel eines Atoms in jeder der 8 Ecken, bei einem bcc-Gitter sind es insgesamt 2, die Achtel in den Ecken und das eine im Zentrum, während das fcc-Gitter ganze 4 Atome pro Einheitszelle besitzt, 8 Achtel in den Ecken und 6 Halbe auf den Flächen. Für r wird üblicherweise einfach der halbe Abstand zum nächsten Nachbarn angenommen, beim fcc-Gitter wäre das ein Viertel der Flächendiagonalen d. Da d bekanntermaßen einfach nur durch:

zu berechnen ist, gilt im fcc-Gitter also neben n=4 auch:

Damit ergibt sich für das fcc-Gitter eine Packungsdichte von etwa P_V= 0,74 womit dieses Gitter zusammen mit dem hexagonal-close-packed kurz hcp-Gitter übrigens die Struktur ist die einen gegebenen Raum am dichtesten ausfüllen kann.

Sie können zur Übung gerne einmal selbst die Packungsdichten für das sc- und bcc-Gitter berechnen.