Grundlagen der Aussagenlogik und Mengenlehre

[Erica Simmons]

Das nächste womit wir uns befassen werden sind die elementaren Symbole der Aussagenlogik.

Mit dem Begriff der Aussagenlogik meinen wir hier die mathematisch zweiwertige Logik, das heißt dass eine mathematische Aussage bezogen auf einen bestimmten Gegenstandsbereich der Mathematik entweder wahr oder falsch sein kann. Eine dritte Möglichkeit existiert hier nicht "tertium non datur".

Lassen sie uns zunächst die wichtigsten Funktionen für Wahrheitswerte und ihre jeweilige Bedeutung bezogen auf Wahrheitswertvariablen mit den Namen p und q zusammenfassen:

Beachten sie dabei dass die Verknüpfung "oder", symbolisiert durch etwas das einem v sehr ähnelt, hier im Sinne von "und/oder" gebraucht wird und nicht im Sinne von "entweder oder". Das heißt also die Aussage "p oder q" ist insgesamt wahr wenn p wahr ist oder q oder alle beide wahr sind. Die Aussage "p und q" ist als Ganzes nur dann wahr, wenn sowohl p als auch q wahr sind und die Aussage "nicht p" ist nur wahr wenn p selbst falsch ist.

Ich werde versuchen ihnen das ganze anhand einer Wahrheitswerte Tabelle zu veranschaulichen, dabei steht W für wahr und F für falsch:

Die Wahrheitswertetabelle ist ein einfaches aber durchaus wichtiges Instrument wenn sie sich mit Aussagenlogik beschäftigen möchten. Per Definition heißen zwei Aussagenverbindungen logisch äquivalent wenn ihre Wahrheitswertetabellen identisch sind.

Wir werden das einmal an einem einfachen Beispiel verdeutlichen indem wir die Äquivalenz

anhand einer Wahrheitswertetabelle beweisen:

Weitere wichtige logische Äquivalenzen sind zum Beispiel:

Sie können zur Übung gerne eine oder wenn sie wollen auch alle diese Äquivalenzen durch Anlegen und Auswerten einer Wahrheitswertetabelle beweisen.