angewandte Numerik - Lösung einfacher Differentialgleichungen

[Erica Simmons]

Zum Abschluß werden wir die drei behandelten Methoden zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen noch einmal in Bezug auf ihr Verhalten bei großen dx vergleichen. Dabei wird die Lösung der hier als Beispiel behandelten Zerfallsgleichung für einen Startwert von 1 bei x=1 und einer Zerfallskonstante von 2 in blau und die durch den Solver ausgegebene Lösung für dx=1,25 in rot dargestellt.

Das explizite Verfahren konvergiert oberhalb eines kritischen dx nicht einmal mehr gegen die richtige Lösung sondern oszilliert mit steigender Amplitude zwischen positiven und negativen Werten.

Die Lösung des inmpliziten Solvers oszilliert ebenfalls, konvergiert für große x jedoch gegen die korrekte Lösung.

Das vollständig implizite Verfahren liefert in diesem Fall qualitativ die beste Übereinstimmung mit der korrekten Lösung was in Anbetracht der Tatsache dass sie in praktischen Anwendungen in der Regel danach streben werden kleine Werte für dx zu verwenden allerdings keine große Relevanz hat.

Für einen sinnvoll gewählten Wert für dx werden in dem hier betrachteten einfachen Beispiel selbstverständlich alle drei Verfahren Ergebnisse liefern die der mathematisch sauberen Lösung recht nahe kommen allerdings ist die relative Genauigkeit des impliziten Verfahrens dabei höher als die des expliziten oder vollständig impliziten.

Das wäre für heute alles. Es wäre gut wenn sie das was wir hier besprochen haben in einer Programmiersprache ihrer Wahl für ein von ihnen gewähltes Beispiel einmal selbst nachvollziehen. Sollten dabei Fragen auftreten so können wir diese im Rahmen dieses Kurses gemeinsam klären.