ACBN |
Loading...
|
Einführung in die Vektoranalysis
|
|
Verfasser | Nachricht |
|
Beitrag: #3
der Differentialoperator
21.05.2011, 14:04, Uhr
(Dieser Beitrag wurde zuletzt bearbeitet: 21.05.2011, 15:32 von Erica Simmons.)
Bevor wir wirklich beginnen möchte ich noch einmal kurz die Begriffe der partiellen
und der totalen Ableitung auseinander nehmen. Ganz vereinfacht gesagt, die partielle Ableitung berücksichtigt, im Gegensatz zur totalen, keine impliziten Abhängigkeiten. Sei f(x,y,z) eine Funktion, dann ist ihr totales Differential gegeben als: ![]() ![]() ![]() Von zentraler Bedeutung in der Vektoranalysis ist der so genannte Nabla-Operator der durch ein auf die Spitze gestelltes Dreieck dargestellt wird. Dieser Operator ist selbst ein Vektor dessen Komponenten gerade die partiellen Ableitungen nach den einzelnen Koordinaten sind. Obwohl der Nabla-Operator und seine Anwendungen grundsätzlich Koordinatenunabhängig definiert sind, werden wir uns in diesem Kurs der Einfachheit halber auf die Darstellung in kartesischen Koordinaten in drei Dimensionen beschränken. Nennen wir die Koordinaten x, y und z, so hat der Nabla-Operator die Form: ![]() Die Multiplikation mit einer skalaren Größe liefert den Gradienten dieser Größe, bei dem es sich gerade um den Vektor handelt der in Richtung des stärksten Anstiegs eines Skalarfeldes zeigt. ![]() ![]() Sie alle haben in der Schule sicher ein Schema für die Berechnung eines Kreuzprodukts zweier Vektoren auswendig lernen müssen, es gibt allerdings einen alternativen Weg der über die Berechnung der Determinante einer 3x3-Matrix führt. Zumindest ich habe diese Methode immer für einfacher in der Handhabung gehalten. Sie wissen dass man einen jeden Vektor in eine Summe über Basisvektoren zerlegen kann, nehmen wir i, j und k als Namen für die Einheitsvektoren in x-, y- und z-Richtung, dann gilt: ![]() Das einzige was sie sich dabei merken müssen ist dass sie bei der Berechnung einer Determinanten das Vorzeichen in Form eines Schachbrettmusters alternieren müssen, wobei dem ersten Element der ersten Zeile ein + zugeordnet wird. Die Determinante einer 3x3-Matrix erhalten sie als Summe aus drei Determinanten von 2x2 Matrizen indem sie das erste Element der ersten Zeile mit der Determinante der 2x2-Matrix multiplizieren die übrig bleibt wenn sie die erste Zeile und erste Spalte ihrer 3x3-Matrix weglassen, das negative des zweiten Elements der ersten Zeile mit der Determinante der Matrix die sie erhalten wenn sie die erste Zeile und zweite Spalte streichen und das dritte Element der ersten Zeile mit der Determinante der Matrix die sie erhalten wenn sie die erste Zeile und dritte Spalte weglassen. Die Determinanten der 2x2-Untermatrizen erhalten sie grundsätzlich indem sie nach dem gleichen Schema weiter verfahren. Dabei wird aber fast sofort klar dass hier einfach nur die Differenz aus dem Produkt der Diagonalelemente und dem Produkt der Nicht-Diagonalelemente zu bilden ist. Als Gleichung ausgedrückt stellt sich das Verfahren wesentlich einfacher dar als in der Beschreibung: ![]() Das Kreuzprodukt des Nabla-Operators mit einem Vektorfeld heißt Rotation und sagt etwas über die Wirbel innerhalb eines Vektorfeldes, also die Tendenz des Vektorfeldes um einen bestimmten Punkt zu rotieren, aus. ![]() Ein letzter wichtiger Operator entspricht dem Skalarprodukt des Nabla Operators mit sich selbst. ![]() |
Leiterin des technischen Korps der Flotte Rektorin der Jeanne Duchamp Universität |
|
![]() ![]() |
|
![]() |
|
Nachrichten in diesem Thema
Einführung in die Vektoranalysis - von Erica Simmons - 21.05.2011, 13:44,
Einleitung - von Erica Simmons - 21.05.2011, 13:47,
der Differentialoperator - von Erica Simmons - 21.05.2011, 14:04
Integralsätze und Fundamentalzerlegung - von Erica Simmons - 21.05.2011, 14:05,
wichtige Identitäten - von Erica Simmons - 21.05.2011, 14:06,
RE: Einführung in die Vektoranalysis - von Ema Skye - 22.05.2011, 20:30,
|