Seereich Aquatropolis

Erdradius (6371 km)

Herleitung der Formel:

Die Blicklinie des Betrachters ist eine Linie, die den gezeichneten Kreis (am Horizont der Erde) berührt und dort senkrecht zum Erdradius steht. Das gezeichnete Dreieck ist also ein rechtwinkliges Dreieck, für welches der Satz des Pythagoras a² + b² = c² gilt. Auf die in der Skizze sichtbare Situation übertragen gilt:

x² + r² = (r + h)²

So kann man bereits x ausrechnen, wenn man (r + h)² - r² berechnet und daraus die Wurzel zieht.

Man kann die Gleichung aber auch noch vereinfachen, vielleicht, um am Strand die Meereshorizont-Entfernung im Kopf zu berechnen. Dazu wird die binomische Formel (a + b)² = a² + 2ab + b² angewendet:

x² + r² = r² + 2rh + h²

Das r² tritt auf beiden Seiten auf und kann abgezogen werden:

x² = 2rh + h²

Da es mir nicht wichtig ist, die Entfernung zum Horizont auf den Meter genau zu kennen, lasse ich das h² auf der rechten Seite weg. Ich benutze also eine "Näherungsformel" (Hinweis). Schließlich ist auch die Erde keine exakte Kugel, und der verwendete Wert des Erdradius ist ein "mittlerer Erdradius" und nicht einmal auf den Kilometer genau. Und wer möchte, kann natürlich auch ohne Näherung rechnen.

x² = 2rh

Gesucht ist also die Strecke x, die mit sich selbst multipliziert den Wert 2rh ergibt. Dies ist die "Wurzel" aus 2rh:

Berechnung:

Beispiel: Beim Aufenthalt am Strand ist h ungefähr 2 m = 0,002 km, also 2rh = 2 x 6371 x 0,002 = 25,484. Die gesuchte Zahl x ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 25,484 ergibt, man erhält x = 5,048...., also ungefähr 5 km (5 x 5 = 25).

wobei die entfernung zur sonne und zum meer auch eine rolle spielen.

weiters ist wiederum das genante problem der athmosphäre welche aber nicht genau mit einbezogen werden kann.

Des weiterin kommt noch da zu das jeder mensch einen anderen stand punkt auf der erde hatt und auch unterschiedlicher größe ist.

Die Herleitung der von ihnen genannten Näherungsformel, Fähnrich La Forbes, wird allerdings auch im Kurs Technik in der Seekriegsführung I ausführlich behandelt um angehenden Schiffskommandanten eine Abschätzung zu liefern welche "Sichtweite" sie ungefähr haben wenn sie sich nur auf ihr Bordradar verlassen.

Man könnte vielleicht noch die Art kritisieren in der die Horizontentfernung definiert wurde, also als Entfernung zwischen dem Beobachtungspunkt in der Höhe h und dem Schnittpunkt der Sichtlinie mit dem Kreis.

Sinnvoller wäre möglicherweise die Bogenlänge zwischen diesem Schnittpunkt und dem Fusspunkt des Beobachters als Enfernung zu setzen allerdings kann man sich recht schnell davon überzeugen dass es in dem Fall so gut wie keinen Unterschied macht.

Die Bogenlänge eines Kreisabschnitts ist B=2*pi*R*a/360° oder wenn alle Winkel in rad angegeben werden einfach B=R*a wobei a der Öffnungswinkel zwischen den Verbindungslinien der beiden genannten Punkte mit dem Kreismittelpunkt ist und R natürlich der Radius.

Wenn E die Entfernung ist die wir über den Pythagoras berechnet haben dann gilt tan(a)=E/R.

Nun ist aber E<<R und damit können wir die Näherung tan(a)=sin(a)=a verwenden wobei a hier natürlich wieder in rad angegeben ist. Diese Näherung folgt einfach aus der Taylorreihenentwickluung der Sinus- und der Tangensfunktion.

Damit ist aber a=E/R und somit B=R*E/R=E. Der Unterschied zwischen der Bogenlänge B und der Entfernung Luftlinie E ist in dem Beispiel also vernachlässigbar ;).