Einführung in die Vektoranalysis

[Erica Simmons]

Vorlesung am Institut für Mathematik und theoretische Physik (Fakultät I)

[Erica Simmons]

Willkommen im Kurs zur Vektoranalysis, was sie hier lernen werden wird ihnen nützliche Werkzeuge für die Behandlung einer Vielzahl von Problemen in die Hand geben, sie sollten also aufmerksam zuhören. Ich werde in diesem Kurs nur voraussetzen, dass sie mit dem Umgang mit Vektoren ein wenig vertraut sind und dass ihnen die Begriffe der Integral- und Differentialrechnung bekannt sind. Die wichtigsten Sachen werde ich aber, wo es nötig ist, auch noch einmal in Kürze wiederholen.

Sie werden hier zunächst den Differentialoperator und seine Anwendungen kennen lernen, anschließend beschäftigen wir uns mit den beiden in der Physik wichtigsten Integralsätzen der Vektoranalysis und der Fundamentalzerlegung von Vektorfeldern um zum Abschluss noch kurz einige wichtige Identitäten zu betrachten die in der Anwendung des öfteren eine Rolle spielen.

[Erica Simmons]

Bevor wir wirklich beginnen möchte ich noch einmal kurz die Begriffe der partiellen
und der totalen Ableitung auseinander nehmen. Ganz vereinfacht gesagt, die partielle
Ableitung berücksichtigt, im Gegensatz zur totalen, keine impliziten Abhängigkeiten.

Sei f(x,y,z) eine Funktion, dann ist ihr totales Differential gegeben als:

wobei zum Beispiel:

die partielle Ableitung von f nach x bezeichnet. Betrachten wir nun die totale Ableitung df/dx, so erhalten wir:

Da dx/dx = 1, sehen wir sofort dass für dy/dx=dz/dx=0, also in dem Fall dass y und z nicht von x abhängen, die totale und die partielle Ableitung nach x gerade übereinstimmen.

Von zentraler Bedeutung in der Vektoranalysis ist der so genannte Nabla-Operator der durch ein auf die Spitze gestelltes Dreieck dargestellt wird. Dieser Operator ist selbst ein Vektor dessen Komponenten gerade die partiellen Ableitungen nach den einzelnen Koordinaten sind. Obwohl der Nabla-Operator und seine Anwendungen grundsätzlich Koordinatenunabhängig definiert sind, werden wir uns in diesem Kurs der Einfachheit halber auf die Darstellung in kartesischen Koordinaten in drei Dimensionen beschränken.

Nennen wir die Koordinaten x, y und z, so hat der Nabla-Operator die Form:

Im Folgenden nennen wir S(x,y,z) ein Skalarfeld und V(x,y,z) ein Vektorfeld. Der Nabla Operator kann nun genau wie jeder andere Vektor auf verschiedene Art angewendet werden.

Die Multiplikation mit einer skalaren Größe liefert den Gradienten dieser Größe, bei dem es sich gerade um den Vektor handelt der in Richtung des stärksten Anstiegs eines Skalarfeldes zeigt.

Das Skalarprodukt des Nabla-Operators mit einer vektoriellen Größe liefert die Divergenz, eine skalare Größe die etwas über die Tendenz eines Vektorfeldes zu einem bestimmten Punkt hin oder von einem bestimmten Punkt weg zu fließen. Mit anderen Worten, die Divergenz sagt etwas über Quellen und Senken eines Vektorfeldes aus.

Schließlich gibt es im dreidimensionalen Fall noch die Möglichkeit das Kreuzprodukt aus dem Nabla-Operator und einer vektoriellen Größe zu bilden. Ich möchte an dieser Stelle einen kurzen Einschub zur Berechnung des Kreuzprodukts machen.

Sie alle haben in der Schule sicher ein Schema für die Berechnung eines Kreuzprodukts zweier Vektoren auswendig lernen müssen, es gibt allerdings einen alternativen Weg der über die Berechnung der Determinante einer 3x3-Matrix führt. Zumindest ich habe diese Methode immer für einfacher in der Handhabung gehalten. Sie wissen dass man einen jeden Vektor in eine Summe über Basisvektoren zerlegen kann, nehmen wir i, j und k als Namen für die Einheitsvektoren in x-, y- und z-Richtung, dann gilt:

Wollen sie nun das Kreuzprodukt zweier Vektoren berechnen so schreiben sie eine 3x3- Matrix mit Symbolen für die Einheitsvektoren in x-, y- und z-Richtung in der ersten Zeile, den Komponenten des ersten Vektors in der zweiten Zeile und den Komponenten des zweiten Vektors in der dritten und berechnen sie deren Determinante ohne sich an dem Punkt zu stören dass die erste Zeile nun faktisch Vektoren als Einträge besitzt.

Das einzige was sie sich dabei merken müssen ist dass sie bei der Berechnung einer Determinanten das Vorzeichen in Form eines Schachbrettmusters alternieren müssen, wobei dem ersten Element der ersten Zeile ein + zugeordnet wird. Die Determinante einer 3x3-Matrix erhalten sie als Summe aus drei Determinanten von 2x2 Matrizen indem sie das erste Element der ersten Zeile mit der Determinante der 2x2-Matrix multiplizieren die übrig bleibt wenn sie die erste Zeile und erste Spalte ihrer 3x3-Matrix weglassen, das negative des zweiten Elements der ersten Zeile mit der Determinante der Matrix die sie erhalten wenn sie die erste Zeile und zweite Spalte streichen und das dritte Element der ersten Zeile mit der Determinante der Matrix die sie erhalten wenn sie die erste Zeile und dritte Spalte weglassen. Die Determinanten der 2x2-Untermatrizen erhalten sie grundsätzlich indem sie nach dem gleichen Schema weiter verfahren. Dabei wird aber fast sofort klar dass hier einfach nur die Differenz aus dem Produkt der Diagonalelemente und dem Produkt der Nicht-Diagonalelemente zu bilden ist. Als Gleichung ausgedrückt stellt sich das Verfahren wesentlich einfacher dar als in der Beschreibung:

Wie gesagt ist dieses Schema ohne Weiteres anwendbar wenn man die Berechnung von Determinanten einmal verstanden hat, der Einzige Punkt bei dem man aufpassen muss ist die Beachtung des Vorzeichens beim Durchlaufen der Matrixelemente. Nun zurück zum eigentlichen Thema.

Das Kreuzprodukt des Nabla-Operators mit einem Vektorfeld heißt Rotation und sagt etwas über die Wirbel innerhalb eines Vektorfeldes, also die Tendenz des Vektorfeldes um einen bestimmten Punkt zu rotieren, aus.

Der Rotationsvektor zeigt dabei stets in Richtung der Rotationsachse, üblicherweise gilt dabei die sogenannte Rechte-Hand-Regel, das heißt wenn sie den Daumen ihrer rechten Hand nach oben richten und die Finger halb zur Faust ballen, dann entspricht ihr Daumen der Rotationsachse und die Krümmung ihrer Finger der zugehörigen Drehrichtung, der mathematisch positive Drehsinn ist, wie sie sehen, per Definition gegen den Uhrzeigersinn gerichtet.

Ein letzter wichtiger Operator entspricht dem Skalarprodukt des Nabla Operators mit sich selbst.

Dieser Operator wird nun natürlich wieder als Skalar behandelt und kann daher entweder auf ein Skalarfeld oder auch komponentenweise auf ein Vektorfeld angewendet werden. Im Falle von Skalarfeldern entspricht dieser Operator der Divergenz des Gradientenfeldes, liefert also die Quellen und Senken des aus dem Skalarfeld durch Ableitung erzeugten Vektorfeldes. Im Falle der Anwendung auf ein Vektorfeld gibt es leider keine ganz so anschauliche Interpretation, wir werden aber auch auf diesen Fall später noch zu sprechen kommen.

[Erica Simmons]

Kommen wir nun auf die Integralsätze der Vektoranalysis zu sprechen. In der Physik sind besonders zwei von größerer Bedeutung. Der erste der beiden Sätze erlaubt den Übergang zwischen Oberflächen- und Volumenintegralen:

Beachten sie bitte dass ein Flächenvektor da stets in Richtung der Flächennormalen zeigt und damit senkrecht zur eigentlichen Oberfläche steht. Die infinitesimale Fläche zum Beispiel dxdy hat also einen Normalenvektor in z-Richtung. Das infinitesimale Volumen ist einfach das Volumen eines unendlich kleinen Quaders mit den Kantenlängen dx, dy und dz. Damit gilt insgesamt:

Die Aussage dieses Integralsatzes für die Physik ist recht einfach und kann im Grunde fast direkt abgelesen werden: Der Fluss eines Vektorfeldes durch eine geschlossene Oberfläche ist abhängig von den im von dieser Oberfläche eingeschlossenen Volumen vorhandenen Quellen oder Senken des Feldes.

Die Herleitung beziehungsweise der Beweis ist ziemlich einfach, schreiben sie:

Führen sie nun im ersten Summanden die Integration über x, im zweiten die Integration über y und im dritten die Integration über z aus und sie erhalten sofort:

womit wir auch schon am Ziel sind.

Der zweite Integralsatz verknüpft in ähnlicher Weise Integrale über geschlossene Wege mit Flächenintegralen:

Dieser Satz sagt ihnen im Prinzip dass das Feld entlang eines geschlossenen Weges stets von den in der umschlossenen Fläche liegenden Wirbeln des Feldes abhängt.

Die Herleitung dieses Satzes ist im Grunde auch nicht schwer, erfordert aber dass sie sich noch einmal bewusst machen was Integrale und Ableitungen im infinitesimalen Bereich eigentlich sind, sie sollten das in der Schule einmal ganz zu Anfang der jeweiligen Gebiete gelernt haben, zur Sicherheit wiederholen wir es aber hier noch einmal in Kürze.

In der einfachsten Anschauung im eindimensionalen Fall liefert das Integral einer Funktion gerade den Flächeninhalt unter der durch diese beschriebenen Kurve und ist der Grenzfall einer Summe über mehrere Streifen mit der dieser Flächeninhalt angenähert wird. Der Flächeninhalt eines einzelnen um den Wert x' zentrierten Streifens ist dabei gerade durch die Höhe des Streifens f(x') multipliziert mit seiner Breite dx gegeben. Die Summe über alle zur Näherung des Flächeninhaltes unter der Kurve innerhalb der Integralgrenzen benutzten Streifen geht gerade für den Grenzfall dass dx gegen 0 geht in das Integral über.

Die Ableitung einer Funktion f an der Stelle x' beschreibt dagegen gerade den Anstieg der Funktion an dieser Stelle. Unter der Voraussetzung dass sich die Funktion f um jeden Punkt x des Bereichs in dem die Ableitung gebildet werden soll lokal linear, also auf einem hinreichend kleinen Bereich ohne große Abweichung mit einer Geraden, approximieren lässt, ist die Ableitung einfach definiert als:

Zur besseren Anschauung finden sie das was ich soeben erklärt habe im Folgenden noch einmal in illustrierter Form.

Um nun auf den Integralsatz den wir herleiten möchten zurückzukommen, nehmen wir das geschlossene Wegintegral über den Rand eines infinitesimalen, um den Punkt (x',y') zentrierten, Rechtecks in der xy-Ebene, welches im mathematisch positiven Drehsinn durchlaufen wird.

Sie berechnen das geschlossene Wegintegral als Summe der Integrale über die einzelnen Teilstrecken unter Beachtung der Laufrichtung. Mit der Näherung für Integrale im infinitesimalen Bereich die wir vorhin besprochen haben, sollte eigentlich sofort einsichtig sein dass hier:

gilt.

Alles was hier im zweiten Schritt passiert ist, ist dass wir so erweitert haben dass wir das Produkt dxdy nun ausklammern können. Wie sie hoffentlich sofort sehen entsprechen, dadurch dass wir uns im infinitesimalen Bereich befinden und sowohl dx als auch dy damit per Definition gegen Null gehen, die Brüche hier, bis auf eine im Prinzip unerhebliche Verschiebung um dx/2 beziehungsweise dy/2, gerade den partiellen Ableitungen nach x beziehungsweise y.

Damit gilt für unser geschlossenes Wegintegral in der xy-Ebene aber gerade:

Das ist nun aber gerade nichts anderes als das Produkt aus der z-Komponente der Rotation eines Vektorfeldes und der z-Komponente des infinitesimalen Flächenvektors.

Wir können nun den infinitesimalen Bereich verlassen indem wir einen beliebigen Weg innerhalb der xy-Ebene aus vielen solcher kleinen Rechtecke zusammensetzen wobei sich die Beiträge der Integrale über aneinander stoßende Kanten benachbarter Rechtecke aufgrund entgegengesetzter Laufrichtungen gerade aufheben und tatsächlich nur noch das Wegintegral über dem Rand übrig bleibt. Dadurch dass die Ausdehnung unserer
Rechtecke gegen Null geht erhalten wir dabei wieder den Übergang von der Summe zum Integral und somit:

In ähnlicher Weise können, unter Beachtung der korrekten Achsenrichtungen im Koordinatensystem, auch die übrigen Komponenten hergeleitet werden womit unser Integralsatz dann vollständig wäre.

Nachdem wir nun die wichtigsten Integralsätze besprochen haben möchte ich ihnen noch kurz ein weiteres bedeutendes Werkzeug der Vektoranalysis vorstellen, die Fundamentalzerlegung. Hinter diesem Begriff verbirgt sich nichts anderes als der Grundsatz dass sich jedes Vektorfeld als Summe aus einem Quellanteil und einem Wirbelanteil darstellen lässt oder anders gesagt als Summe aus einem Gradientenfeld und einem Wirbelfeld:

[Erica Simmons]

Zum Abschluss möchte ich mit ihnen noch in Kürze über drei Identitäten sprechen die in der Vektoranalysis von größerer Bedeutung sind.

Diese Identitäten sind:

Die ersten beiden sind allgemein bei der Behandlung von Feldern von Interesse. Um ihre Bedeutung zu erfassen, betrachten wir Rotation und Divergenz, also Wirbel und Quellen, eines allgemeinen Vektorfeldes, ausgedrückt durch seine Fundamentalzerlegung unter Beachtung dieser Identitäten.

Wir sehen also dass die Rotation eines beliebigen Vektorfeldes insgesamt verschwindet wenn sein Wirbelanteil verschwindet während der Quellanteil beliebig sein darf. Die Divergenz eines allgemeinen Vektorfeldes verschwindet dagegen gerade dann insgesamt wenn bei beliebigem Wirbelanteil der Quellanteil Null ist.

Die ersten beiden Identitäten sind somit Ausdruck zweier wichtiger Eigenschaften von Feldern.

1) Reine Gradientenfelder sind wirbelfrei.
oder auch
Jedes wirbelfreie Feld lässt sich als Gradient eines skalaren Potentials ausdrücken.

2) Reine Wirbelfelder sind quellenfrei, das heisst an jedem Punkt sind die einlaufenden Feldanteile gleich den auslaufenden.

Die dritte Identität hat keine ganz so anschauliche Interpretation, spielt jedoch in Wellengleichungen eine entscheidende Rolle. Da wir uns damit in diesem Kurs aber nicht beschäftigen werden, genügt es vorerst sie einfach nur zur Kenntnis zu nehmen.

Ich merke dass wir die Zeit heute ein wenig überzogen haben doch dafür sind wir mit allem durch was ich ihnen in dem Zusammenhang vermitteln wollte und ich hoffe sie haben das Wesentliche in diesem Kurs verstanden.

[Ema Skye]

Hört aufmerksam zu und macht sich Notizen.