Festkörperphysik - Kristallgitter und Defekte

[Erica Simmons]

Vorlesung am Institut für Experimentalphysik und Ingenieurwissenschaften (Fakultät I)

[Erica Simmons]

Schön dass sie so zahlreich erschienen sind, dieser Kurs soll einen eine erste Einführung in die Festkörperphysik geben. Dazu werden wir uns zunächst mit dem Begriff eines Gitters und einigen möglichen Gitterstrukturen befassen bevor wir dann im Anschluss auf den Begriff der Packungsdichte zu sprechen kommen. Abschließend werde ich ihnen dann noch einen groben Überblick über verschiedene Arten von Gitterdefekten und ihre jeweiligen Auswirkungen geben.

[Erica Simmons]

Ein Kristallgitter ist im Grunde nichts anderes als eine unendliche Wiederholung identischer Atomgruppen in einer regelmäßigen Anordnung. Diese Atomgruppe, die in der Regel einfach als Basis des Gitters bezeichnet wird, kann aus einem einzelnen Atom oder auch aus einer komplexeren Struktur bestehen, wichtig ist nur dass diese Basis in einem perfekten Gitter jeweils an jedem Gitterpunkt vorhanden und in Grösse, Form und räumlicher Orientierung identisch ist. Der Einfachheit halber werden wir im Folgenden immer von einer einfachen einatomigen Basis ausgehen aber behalten sie im Hinterkopf dass dies nicht immer der Fall sein muss. NaCl zum Beispiel besitzt eine zweiatomige Basis.

Ausgehend vom Ortsvektor eines beliebigen Gitterpunktes lassen sich die Übrigen durch
Verschiebung um einen passenden Translationsvektor beschreiben.

Hier sind u₁, u₂ und u₃ einfach natürliche Zahlen. Die zugehörigen Vektoren nennt man die primitiven Gittervektoren, welche innerhalb des Gitters die Zelle mit dem kleinsten Volumen, die so genannte primitive Einheitszelle aufspannen. Das Volumen dieser Zelle berechnet sich über das Spatprodukt:

allerdings ist ihre Lage und Gestalt nicht eindeutig. Gerade in komplexeren Gitterstrukturen gibt es in der Regel mehrere Möglichkeiten die primitive Elementarzelle zu konstruieren, entscheidend ist nur dass sie insgesamt nur genau ein Gitteratom enthalten darf. Eine übliche Konstruktion besteht darin einfach um ein Gitteratom herum die Flächen welche senkrecht zu den Verbindungslinien mit den nächsten Nachbarn stehen und diese gerade halbieren miteinander zu verbinden.

Obwohl die primitive Einheitszelle durchaus ihren Sinn hat, werden in vielen Anwendungen wesentlich anschaulichere Struktureinheiten verwendet die man als gebräuchliche Einheitszelle oder einfach nur als Einheitszelle bezeichnet. Diese wurden mehr oder weniger offensichtlich anhand vorhandener Symmetrien festgelegt. Besonders einfache Beispiele sind die kubischen Gitter:

aber auch andere Strukturen wie zum Beispiel hexagonale sind möglich.

Die folgende Tabelle soll ihnen einen kleinen Überblick über mögliche Grundstrukturen für Kristallgitter geben doch denken sie daran dass sich jede dieser Strukturen noch modifizieren lässt, wie sie am Beispiel der kubischen Gitter ja bereits gesehen haben.

[Erica Simmons]

In den verschiedenen Gitterstrukturen sind die Atome unterschiedlich dicht angeordnet. Die einheitenfreie Grösse mit der sich dies ausdrücken lässt ist die sogenannte Packungsdichte die im Grunde so etwas wie der maximale Anteil von Atomen belegten Raumvolumens ist wenn man sich die Atome modellhaft als feste Kugeln vorstellt und in einer bestimmten Struktur anordnet. Die Formel zur Berechnung der Packungsdichte ist recht einfach, es wird einfach das Gesamtvolumen das von allen in einer Einheitszelle liegenden Atomen beansprucht wird durch das Gesamtvolumen der Einheitszelle geteilt.

Für kubische Gitter ist das Volumen der Einheitszelle besonders leicht zu berechnen und es gilt:

hierbei ist nun n die Anzahl der Atome innerhalb der Einheitszelle, a die Kantenlänge der kubischen Einheitszelle und r der Radius der jeder ein Atom repräsentierenden Kugel zugeordnet wird. Beachten sie bei der Bestimmung von n aber unbedingt, dass Atome durchaus nur anteilig in einer Einheitszelle liegen können. Ein Atom das in einer Ecke liegt befindet sich nur zu einem Achtel innerhalb einer jeden an diese Ecke grenzenden Einheitszelle, ein Atom auf einer Fläche nur zur Hälfte. Das sc-Gitter besitzt zum Beispiel insgesamt nur 1 Atom pro Enheitszelle, genauer ein Achtel eines Atoms in jeder der 8 Ecken, bei einem bcc-Gitter sind es insgesamt 2, die Achtel in den Ecken und das eine im Zentrum, während das fcc-Gitter ganze 4 Atome pro Einheitszelle besitzt, 8 Achtel in den Ecken und 6 Halbe auf den Flächen. Für r wird üblicherweise einfach der halbe Abstand zum nächsten Nachbarn angenommen, beim fcc-Gitter wäre das ein Viertel der Flächendiagonalen d. Da d bekanntermaßen einfach nur durch:

zu berechnen ist, gilt im fcc-Gitter also neben n=4 auch:

Damit ergibt sich für das fcc-Gitter eine Packungsdichte von etwa P_V= 0,74 womit dieses Gitter zusammen mit dem hexagonal-close-packed kurz hcp-Gitter übrigens die Struktur ist die einen gegebenen Raum am dichtesten ausfüllen kann.

Sie können zur Übung gerne einmal selbst die Packungsdichten für das sc- und bcc-Gitter berechnen.

[Erica Simmons]

Sprechen wir nun noch über Gitterdefekte, also über Unterbrechungen in der Periodizität Gitterstrukturen und was sie bewirken können. Am einfachsten gliedern wir die möglichen Defekte anhand ihrer Dimension.

Defekte 0. Ordnung sind Punktdefekte, diese können verschiedener Art sein. Fehlstellen sind zum Beispiel Gitterfehler bei denen dort wo eigentlich ein Atom sein sollte keines ist und die umgebenden Atome dadurch Raum haben um etwas dichter zusammenzurücken. Dem gegenüber wurde bei besetzten Zwischengitterplätzen ein Atom an einer Stelle platziert die eigentlich frei sein sollte wodurch das Gitter in der näheren Umgebung quasi auseinandergedrückt wird. Bei Substitutionen ist es schließlich so dass sich an einem regulären Gitterplatz ein Atom befindet das von anderer Art ist als die aus denen das restliche Gitter aufgebaut ist. Je nachdem ob dieses Fremdatom im Verhältnis zu den übrigen Gitteratomen mehr oder weniger Platz beansprucht, wird sich das Gitter an dieser Stelle dehnen oder zusammenziehen. So oder so ist allen Punktdefekten gemeinsam, dass sie die Bindungslängen in ihrer unmittelbaren Umgebung beeinflussen.
Punktdefekte können ausserdem einen deutlichen Einfluss auf die Leitfähigkeit haben indem zum Beispiel durch Substitution Donatoren oder Akzeptoren für freie Elektronen ins Gitter eingebracht werden, was übrigens genau der entscheidende Punkt bei Halbleitern ist.

Defekte 1. Ordnung sind Lineardefekte. Hier handelt es sich um Versetzungen in der Gitterstruktur, die sich durch den Versetzungsvektor, also den Vektor der nötig ist um einen Weg entlang der Kanten von abgezahlten Einheitszellen über die Versetzung hinweg zu schließen, beschreiben lassen. Die beiden Grundarten die ich ihnen anhand von Skizzen verdeutlichen werde, sind Schraubenversetzungen bei denen der Versetzungsvektor parallel zur Versetzungsebene steht und Kantenversetzungen bei denen der Versetzungsvektor senkrecht zur Versetzungsebene steht.
Stellen sie sich diese Schraubenversetzungen so vor dass sie zwei Lagen ihres Gitters gegeneinander verdrehen und Kantenversetzungen so dass sie ab einer bestimmten Lage eine zusätzliche Reihe von Zellen unterbringen und sie haben hoffentlich eine brauchbare Anschauung.

Ganz allgemein können sie Lineardefekte als eine Überlagerung von Schrauben- und Kantenversetzungen betrachten. Solche Defekte beeinflussen das Verhalten eines Festkörpers unter mechanischer Spannung, werden also Einfluss auf Eigenschaften wie Zugfestigkeit, Verformbarkeit oder Härte haben.

Defekte 2. Ordnung decken im wesentlichen alle Arten von Grenzflächen in einem Festkörper ab, die externen Oberflächen genauso wie Korngrenzen oder Stapelfehler. Defekte dieser Art haben in der Regel großen Einfluss auf das Leitungsverhalten da jede Grenzfläche ersteinmal ein Hindernis darstellt das zum Beispiel beim Transport freier Ladungsträger überwunden werden muss.

Bei Defekten 3. Ordnung handelt es sich, wie sie sicher schon ahnen, um Volumendefekte. Also Poren, Risse und Einschlüsse aller Art. Diese beeinflussen das Verhalten ihres Festkörpers auf der makroskopischen Ebene... nunja makroskopisch vom Standpunkt des molekularen Aufbaus aus betrachtet. Diese Einflüsse müssen übrigens durchaus nicht immer negativ sein, einige der allerersten Stoffe die als leitfähige Polymere bezeichnet wurden, waren im Grunde nichts anderes als Polymere mit Graphiteinschlüssen und auch bei faserverstärkten Verbundwerkstoffen wird der Einsschluss von Fremdkörpern, in dem Fall Fasern, gezielt zur Verbesserung mechanischer Eigenschaften genutzt doch das ist eher ein Thema für eine andere Vorlesung.

Für Heute soll das genug sein.

[Ema Skye]

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