Grundlagen der Aussagenlogik und Mengenlehre

[Erica Simmons]

Vorlesung am Institut für Mathematik und theoretische Physik (Fakultät I)

[Erica Simmons]

Ich freue mich sie als angehende Wissenschaftler hier in diesem Kurs für Erstsemester begrüssen zu dürfen.

Auch wenn ich davon ausgehe dass sie ein paar Vorkenntnisse aus ihrer Schulzeit mitbringen, wird ein grosser Teil dieser Vorlesung darauf abzielen sicherzustellen dass sie in der Lage sind formalisierte mathematische Sätze zu lesen und zu verstehen. Das ist im Grunde nicht weiter schwierig, erfordert aber sie mit einigen Symbolen und ihrer Bedeutung vertraut zu machen. In dem Zusammenhang werden wir auch einige elementare Begriffe der Aussagenlogik und Mengenlehre behandeln.

[Erica Simmons]

Kommen wir zunächst zu den beiden Symbolen die ihnen vermutlich am häufigsten in mathematischen Sätzen begegnen werden:

Der Allquantor:

hat die Form eines umgedrehten A und bedeutet "für alle...".

Der Existenzquantor:

hat die Form eines gespiegelten E und bedeutet "es gibt ein..." im Sinne von "mindestens ein...". Falls sie ausdrücken möchten dass es nur genau ein Element gibt das eine bestimmte Eigenschaft besitzt dann wird dies üblicherweise erreicht indem ein ! hinter den Existenzquantor geschrieben wird.

bedeutet demzufolge "es gibt genau ein...". Darüber hinaus gibt es noch weitere Quantoren allerdings genügt es wenn sie diese kennen lernen wenn sie sie tatsächlich einmal brauchen sollten.

Um einen solchen Quantor syntaktisch von der Eigenschaft die man formuliert abzugrenzen wird häufig ein Doppelpunkt verwendet der dann als: "gilt...", "mit der Eigenschaft..." oder ähnliches gelesen werden kann.

Nehmen wir als einfaches Beispiel einmal das Kommutativgesetz der Addition:

"Für alle x und y gilt x + y ist das gleiche wie y + x".

[Erica Simmons]

Das nächste womit wir uns befassen werden sind die elementaren Symbole der Aussagenlogik.

Mit dem Begriff der Aussagenlogik meinen wir hier die mathematisch zweiwertige Logik, das heißt dass eine mathematische Aussage bezogen auf einen bestimmten Gegenstandsbereich der Mathematik entweder wahr oder falsch sein kann. Eine dritte Möglichkeit existiert hier nicht "tertium non datur".

Lassen sie uns zunächst die wichtigsten Funktionen für Wahrheitswerte und ihre jeweilige Bedeutung bezogen auf Wahrheitswertvariablen mit den Namen p und q zusammenfassen:

Beachten sie dabei dass die Verknüpfung "oder", symbolisiert durch etwas das einem v sehr ähnelt, hier im Sinne von "und/oder" gebraucht wird und nicht im Sinne von "entweder oder". Das heißt also die Aussage "p oder q" ist insgesamt wahr wenn p wahr ist oder q oder alle beide wahr sind. Die Aussage "p und q" ist als Ganzes nur dann wahr, wenn sowohl p als auch q wahr sind und die Aussage "nicht p" ist nur wahr wenn p selbst falsch ist.

Ich werde versuchen ihnen das ganze anhand einer Wahrheitswerte Tabelle zu veranschaulichen, dabei steht W für wahr und F für falsch:

Die Wahrheitswertetabelle ist ein einfaches aber durchaus wichtiges Instrument wenn sie sich mit Aussagenlogik beschäftigen möchten. Per Definition heißen zwei Aussagenverbindungen logisch äquivalent wenn ihre Wahrheitswertetabellen identisch sind.

Wir werden das einmal an einem einfachen Beispiel verdeutlichen indem wir die Äquivalenz

anhand einer Wahrheitswertetabelle beweisen:

Weitere wichtige logische Äquivalenzen sind zum Beispiel:

Sie können zur Übung gerne eine oder wenn sie wollen auch alle diese Äquivalenzen durch Anlegen und Auswerten einer Wahrheitswertetabelle beweisen.

[Erica Simmons]

Wenn wir nun zum Abschluss über Mengenlehre sprechen wollen, so können wir uns als einfache Anschauung, die uns für den Moment ausreichen soll, unter dem Begriff einer Menge die Zusammenfassung unterscheidbarer Objekte anhand gemeinsamer Eigenschaften zu einem Ganzen vorstellen.

Die formelle Beschreibung einer Menge wird gewöhnlich in geschweifte Klammern gestellt und kann für Mengen mit einer abzählbaren endlichen und überschaubaren Anzahl von Elementen aus einer simplen Aufzählung bestehen, für Mengen mit abzählbar unendlich vielen Elementen bietet sich je nach Lage eine angedeutete Aufzählung oder falls möglich die Bildungsvorschrift der Elemente an.

Sei zum Beispiel M die Menge aller ungeraden Zahlen zwischen 0 und 10 dann kann diese Menge durch:

beschrieben werden. Für die Mengen der natürlichen, der ganzen und der rationalen Zahlen lässt sich jeweils folgende Beschreibung geben:

Die Aussage "x ist Element der Menge M" wird durch das Elementsymbol dargestellt das ihnen eigentlich aus der Schule bekannt sein sollte. Die Negation dieser Aussage wird oft in Kurzform mit Hilfe eines durchgestrichenen Elementsymbols ausgedrückt.

Teilmengen werden durch ein auf die Seite gekipptes U gekennzeichnet. Wir bezeichnen eine Menge X als Teilmenge von M wenn jedes Element aus X gleichzeitig auch immer ein Element von M ist.

Falls X Teilmenge von M und gleichzeitig M Teilmenge von X wäre, so würde daraus X = M folgen, ist Y Teilmenge von X und X Teilmenge von M so ist automatisch auch Y Teilmenge von M.

Die wichtigsten Operationen mit denen zwei Mengen A und B verknüpft werden können sind:

Betrachten wir zur besseren Anschauung noch diese Graphik:

Die Vereinigungsmenge von A und B umfasst hier alle farbigen Bereiche, die Schnittmenge den dunkleren Überschneidungsbereich in der Mitte, die Differenzmenge aus A und B ausschließlich den in schwachem Hellgrün eingefärbten Bereich. Ich hoffe damit haben sie eine halbwegs gute Vorstellung was gemeint ist.

Zum Abschluss betrachten wir noch kurz drei Zusammenhänge die bei mengentheoretischen Betrachtungen häufiger zur Anwendung kommen:

Die Ähnlichkeit zu den Äquivalenzen die ich ihnen in der Aussagenlogik bereits vorgestellt habe wird ihnen sicher schon aufgefallen sein und tatsächlich sind diese der Schlüssel zum Beweis dieser Mengengleichungen. Wir werden das einmal am Beispiel der zweiten Gleichung durchgehen wobei wir auf die Äquivalenz der Aussagenlogik zurückgreifen werden die wir im letzten Abschnitt bereits bewiesen haben.

Sie sehen also dass die Aussagenlogik ihnen hier für die Betrachtung mengentheoretischer Überlegungen ein wichtiges Werkzeug in die Hand gibt.

Das wäre für heute alles, es wird ihnen aber sicher nicht schaden zur Übung analog zu dem was wir hier gerade behandelt haben auch die Gültigkeit der ersten und dritten Gleichung einmal selbst zu zeigen.

[Ema Skye]

besucht die Vorlesung und macht sich Notizen, auch wenn sie den Stoff nicht als besondere Herausforderung empfindet